[전자기학] 전하가 균일한 절연체 내부에서의 전기장 구하기 (2021학년도 18번 풀이)

문제

 

위와 같이 전하량이 균일하게 분포되어있는 절연체를 여러 개 주고 내부의 특정 지점에서의 전기장을 구하는 문제를 해결해봅시다. 이 때 구멍이 뚫린 절연체도 있으니 주의해서 풀이해봅시다.

 

풀이

이 문제는 단 한 개의 공식만을 사용하여 해결할 수 있습니다. 거리에 따른 전기장의 크기 공식만 안다면 나머지는 상황을 바꾸어 생각하는 요령을 통해 모든 보기를 풀 수 있습니다.

 

먼저 보기 ㄱ에서 언급하고있는 절연체의 경우 위와 같이 생겼으며 내부 지점에서의 전기장을 구해야 합니다. 그러면 Q의 경우 전하밀도에 부피를 곱하여 내부 지점의 반지름 r만큼의 구의 부피만 구해서 전하량을 계산해주면 됩니다.

 

이후 전기장 식에 대입하여 계산해보면 보기 ㄱ에서 언급하고 있는 식과 같음을 알 수 있고 따라서 보기 ㄱ은 맞습니다.

 

보기 ㄴ에서는 전하밀도가 음전하를 띠고 있는 절연체의 중심에서의 전기장을 구하라고 하였습니다. 그런데 이 보기는 생각할 것도 없이 구의 중심이라고 하였으므로 균일하지 않은 전하밀도를 가진 절연체가 아닌 이상 항상 0이 될 수 밖에 없습니다. 또는 위의 계산식대로 r=0을 대입해보아도 좋습니다. 따라서 보기 ㄴ은 맞는 보기입니다.

 

핵심은 보기 ㄷ이 되는데요, 구멍이 뚫려있는 내부가 비어있는 구를 주었다면 우선 전하밀도가 rho이고 내부가 꽉 차 차있는 구와 전하밀도가 -rho인 구가 합쳐져 있다고 생각하는 것입니다. 그렇게 된다면 위와 같이 두 개의 전기장 식을 구한 뒤 더해서 합하는 방식으로 전기장을 쉽게 구할 수 있습니다. 같은 방식으로 계산해준다면 역시 보기 ㄷ에서 언급하고 있는 식과 같은 값의 전기장을 가짐을 알 수 있으므로 보기 ㄷ은 맞습니다.

 

따라서 보기 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 맞음을 알 수 있고 정답은 7번이 됩니다.