[열역학] 단열 실린더 한 쪽만을 가열하는 문제 (심화) (2021학년도 19번 풀이)

문제

단열 피스톤에 의해 분리된 실린더의 한 쪽만을 가열했을 때 변하는 부피를 알려주고 양쪽의 온도 변화나 압력 변화 등을 구해보는 문제입니다.

 

풀이

가운데의 피스톤이 단열이라고 하였으므로 왼쪽을 가열해도 오른쪽 B는 여전히 단열상태입니다. 따라서 B는 단열압축된다는 사실을 알 수 있고 따라서 PV^gamma는 일정이라는 공식을 사용할 수 있습니다.

 

보기 ㄱ에서 압력 변화에 대하여 물어봤으므로 같은 공식을 대입하여 계산해주면 보기 ㄱ이 맞다는 사실을 알 수 있습니다.

 

보기 ㄴ을 보면 A와 B의 절대온도에 대하여 묻고 있습니다. 우선 B는 단열압축과정을 거쳤기 때문에 단열 조건을 사용하여 T_B는 공식을 그대로 이용하여 계산해줄 수 있습니다.

 

그러나 A는 열이 분명 가해졌기 때문에 단열이라든지 어떤 조건을 사용하여 풀 수 없습니다. 따라서 B를 단열 조건을 이용하여 계산하고 그 값을 이용하여 간접적으로 A에 대한 변수를 구해주어야 합니다. 이상기체 상태방정식을 이용한다면 압력, 부피만 알면 절대온도를 계산해줄 수 있으므로 T_A를 직접 구하는 방법 대신 P_A를 이용해봅시다.

 

가운데의 피스톤은 벽과의 마찰이 없으므로 평형을 유지했다는 뜻 자체가 P_B = P_A라는 의미이므로 P_B를 대입해주어도 됩니다. 또한 V_B = 1/2 V 이므로 V_A = 2V - 1/2 V = 3/2 V입니다. 따라서 이들을 대입하여 절대온도를 구할 수 있습니다.

 

계산해보면 보기 ㄴ은 틀렸음을 알 수 있습니다.

 

마지막 엔트로피의 경우 위와 같은 공식으로 계산할 수 있으나 B는 단열과정을 거쳤으므로 Q=0이기 때문에 엔트로피 자체의 변화량은 없습니다. 따라서 보기 ㄷ은 틀렸고 정답은 ㄱ입니다.

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더 생각해보기

조금 더 어렵지만 핵심적인 내용을 공부해봅시다. 위의 과정에서 A에 가해진 열의 양은 총 얼마일까요?

 

열역학 제1법칙을 사용해보면 내부에너지 변화량과 일의 변화량에 해당함을 알 수 있습니다. A의 내부에너지 변화량은 비교적 쉽게 계산할 수 있겠지만 A가 B에 해준 일의 양은 직접 구하기 힘듭니다. (적분을 해야하는데 복잡합니다.)

 

따라서 잘 생각해보면 A가 B에 가해준 일의 양은 결국 B의 내부에너지 변화량과 같습니다. 따라서 A의 내부에너지 변화량 + B의 내부에너지 변화량을 계산해주면 그것이 총 가해진 열량이 될 것입니다. (이 때 주의할 점은 각각 양수가 되도록 절댓값을 씌워서 계산해주어야 합니다.)

 

따라서 3/2 nR (A의 온도변화량 + B의 온도변화량)을 계산해주면 위와 같은 열량이 나옵니다.