[열역학] 카르노 기관에서의 부피비, 열효율, 엔트로피에 대해 묻는 문제 (2017학년도 20번 풀이)

문제

 

위와 같이 카르노 기관의 등온 팽창, 단열 팽창, 등온 수축, 단열 수축 과정의 그래프와 일부 상태에서의 부피비 또는 압력비를 주었을 때 부피비, 열효율, 엔트로피 변화 등에 대해 묻는 문제를 해결해봅시다.

 

풀이

우선 위와 같은 순환 과정에 대한 문제를 풀이하기 위해서는 각 과정 사이를 변수를 매개하여 관계식을 얻어내야 합니다.

 

 

먼저 팽창 과정의 관계식을 구해봅시다. A에서 B로 가는 과정은 등온과정이라고 하였으므로 위의 식이 성립합니다. 그 다음 B에서 C로 가는 과정은 단열과정이라고 하였으므로 역시 위의 식이 성립합니다. 그런데 문제에서 A와 C 상태 사이의 부피 관계와 압력 관계를 주었으므로 해당 관계식을 대입하여 풀이해보면 위와 같은 식을 얻을 수 있습니다.

 

 

보기 ㄱ에서 무엇을 물어보고있는지 확인해보니까 부피비를 구하라고 했기 때문에 A->B 과정에서 얻은 관계식을 연립하여 정리해주면 V_B = 2V_A라는 관계식을 얻을 수 있습니다.

 

C에서 D로 가는 과정과 D에서 A로 가는 과정도 마찬가지로 계산해줍니다. 같은 방법으로 계산하면 되지만 주의할 점은 순서가 역으로 되어있다는 점과 팽창이 아닌 수축과정이라는 점입니다. 만약 이 차이점을 명확히 인지할 수 있다면 식을 똑같이 연립하지 않아도 A, B 대신 C, D를 대입하여 결과식만 얻어낼 수도 있습니다.

 

어쨌든 계산을 한다면 위처럼 똑같이 계산해주면 V_C = 2V_D라는 관계식을 얻을 수 있습니다. 맨 위 과정에서 얻은 식과 연립하여 한 식을 다른 식으로 나누어주면 위와 같은 보기 ㄱ의 식을 얻어 보기 ㄱ이 맞다는 사실을 알 수 있습니다.

 

그 다음 보기 ㄴ을 해결하기 위해 열기관의 효율을 구해야 합니다. 열기관의 효율은 1 - Q_C/Q_H 식을 이용하여 구해주면 됩니다. 그런데 B->C 과정과 D->A 과정은 단열과정이므로 가해진 열량이 0이기 때문에 두 과정은 생략하고 나머지 두 과정에서의 열량을 구해주면 됩니다.

 

A에서 B로 가는 과정에서의 열량은 위와 같은 과정으로 구할 수 있습니다.

 

C에서 D로 가는 과정의 열량은 위와 같은 과정으로 구할 수 있습니다. 여기서 P_C나 V_C 대신 문제에서 제시된 관계를 이용하여 P_A와 V_A로 바꾸어줍니다.

 

이제 열기관 효율 식에 대입하여 계산해보면 3/4가 나오므로 보기에서 말하고 있는 50%는 아님을 알 수 있습니다. 따라서 보기 ㄴ은 틀렸습니다.

 

마지막으로 보기 ㄷ에서는 A, C 두 상태에서의 엔트로피 차이에 대하여 묻고 있습니다. 단열과정에서의 엔트로피 변화는 0이기 때문에 A->B로 가는 과정에서의 엔트로피 변화량만 구해주면 Rln2이므로 보기 ㄱ 또한 맞음을 알 수 있습니다. 위의 문제를 해결하면서 단열 과정에서는 가해준 열량, 엔트로피 변화 모두 0임을 인지하고 있다면 조금 빨리 구할 수 있을 것입니다.

 

어쨌든 맞는 보기는 ㄱ, ㄷ이므로 답은 5번이 됩니다.

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풀이하고 보니 보기 ㄱ에서의 계산량이 너무 많은 것 같아 보기 ㄱ만을 조금 더 빨리 풀이할 수 있는 방법을 알려드리겠습니다. 카르노 기관에서 단열과정에서의 엔트로피 변화량은 0이므로 나머지 두 단열과정에서의 엔트로피 증가량과 감소량은 같습니다. 따라서 위의 식을 이용하면 보기 ㄱ의 식을 한 번에 유도할 수 있습니다.

 

+ 다만 어차피 위의 문제를 해결하면서 보기 ㄴ과 ㄷ을 해결하기 위해서는 나머지 관계식들 또한 구해야했기 때문에 보기 ㄱ에서의 많은 계산과정은 사실상 불가피한 상태였습니다. 만약 보기 ㄱ만 물어보는 상황이라면 위와 같이 엔트로피 변화량 식으로 구하면 됩니다.