문제
단열 피스톤으로 분리된 공간을 외부에서 모래의 양을 증가시키면서 압축을 가하는 단열 압축 문제를 해결해봅시다.
풀이
가장 먼저 단열이라는 키워드가 눈에 띄어야합니다. 단열 압축 과정이고 보기 ㄱ에서는 압력비에 대한 질문을 하였으므로 PV^gamma가 일정하다는 공식을 이용하여 문제를 풀어주면 됩니다. 따라서 위와 같은 식을 세워주면 나중 압력이 처음 압력의 32배임을 알 수 있습니다.
보기 ㄴ에서는 근평균제곱속력에 대해서 묻고 있습니다. 그런데 v_rms는 절대온도의 제곱근에 비례하기 때문에 절대온도의 비를 구해주는 것이 우선입니다. 단열과정의 경우 TV^(gamma-1) = 일정이라는 공식 또한 존재하기 때문에 이를 역시 적용해주면 온도는 4배가 됨을 알 수 있고, 따라서 이것에 제곱근을 씌워준 비를 계산해주면 v_rms가 2배가 되므로 보기 ㄴ은 정답임을 알 수 있습니다.
그 다음 마지막 보기 ㄷ에 대해서, 받을 일을 P2V2 - P1V1으로 계산하는 실수가 있을 수 있는데, 압력과 부피가 동시에 수시로 변하기 때문에 그렇게 일을 계산할 수는 없습니다. 굳이 부피와 압력으로 계산할 것이라면 압력을 부피에 대한 식으로 나타내던지 부피를 압력에 대한 식으로 나타내어 적분해주어야 합니다.
단열과정에서는 더 간단한 방법으로 구할 수 있는데, 그 이유는 Q=0이기 때문에 내부에너지 변화량을 구해주면 일의 양과 같아지기 때문입니다. 따라서 내부에너지 변화량을 구해보면 온도가 3T가 변화했으므로 총 9/2 RT가 받은 일의 양임을 알 수 있습니다. 따라서 ㄷ도 맞음을 알 수 있습니다.
따라서 정답은 ㄴ, ㄷ입니다.
더 생각해보기
만약 문제조건이 단열 압축이 아닌 등온 압축이었다면 받은 일의 양은 어떻게 변할까요? 한 번 계산해봅시다.
위처럼 계산해주면 됩니다. T가 일정하다는 강력한 조건이 있으므로 PV가 일정함을 알 수 있습니다. 따라서 우리는 압력과 부피 사이의 관계식을 얻었으므로 그냥 PdV를 이용하여 적분해주면 됩니다. PV = nRT이므로 P 대신 nRT/V를 대입하여 초기 부피와 나중 부피를 넣어서 계산해주면 받은 일의 양이 3RTln2임을 알 수 있습니다.
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