[열역학] 용기 내에서 고정 안된 판을 제거하는 문제 (2011학년도 5번 풀이)

문제

단열된 실린더 내의 단원자 분자 이상기체가 왼쪽은 2V, 오른쪽은 V의 부피를 가지도록 피스톤에 의해 나뉘어져 있을 때 분자들의 속력에 대한 분포 그래프를 참고하며 푸는 문제입니다.

 

풀이

위에서 가장 중요한 조건은 "실린더와 피스톤 사이의 마찰이 없다"는 것입니다. 따라서 피스톤은 압력이 높은 쪽에서 낮은 쪽으로 밀려나므로 결국 양쪽의 P가 같다는 조건이 발생합니다. 이 때 피스톤을 제거하더라도 용기 전체의 부피와 분자의 수는 일정하므로 압력은 역시 그대로입니다.

 

따라서 압력을 다른 식으로 나타낸 뒤 그 압력들이 모두 같다고 식을 세우면, T_A는 T_B보다 2배 큰 온도를 가지고 있음을 알 수 있고 따라서 보기 ㄱ은 맞음을 알 수 있습니다.

 

그 다음에는 분자들의 속력 분포에 대한 그래프를 이용해 풀어야하는데, v_rms = (3RT/M)^1/2이므로 여기서 다른 변수들의 값은 모두 같으므로 오직 온도에만 의존함을 알 수 있습니다.

 

따라서 계산을 해보면 A쪽 분자들의 속력이 B쪽 분자들의 속력의 루트 2배의 크기를 가지고 있으므로 보기 ㄴ과 ㄷ은 모두 틀렸음을 알 수 있고 따라서 정답은 ㄱ임을 알 수 있습니다.

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위의 문제에 대한 중요한 성질에 대해 다시 한 번 살펴봅시다. 우선 B의 압력을 기준으로, 피스톤 제거 후의 압력을 생각해보면 애초에 피스톤은 압력이 평형을 이루도록 이동했으므로 제거 후에도 역시 압력은 P여야 합니다.

 

그 다음 B의 온도를 기준으로 피스톤 제거 후의 온도를 생각해보면, 역시 등압조건이라는 조건이 있으므로 P에 대한 식을 세우고 모두 같다고 둔 뒤 계산해줍니다. 그러면 T_f는 3/2 T임을 알 수 있습니다.