[역학] 용수철의 나무 도막이 분리되는 문제 (2018학년도 20번 풀이)

문제

위의 문제는 2018학년도 물리추론 20번으로 나온 기출문제로써, 용수철에 매달린 나무도막이 같이 이동하다가 분리되는 문제입니다.

 

풀이

문제를 풀기 위해서는 가장 먼저 나무도막 두 개가 어디서 분리되는지를 생각해보아야 합니다.

 

용수철에서 힘의 방향을 생각해보면, 평형점보다 용수철에서 가까운 쪽에서는 밀려나는 쪽으로 힘이 작용하고 반대로 평형점보다 용수철에서 먼 쪽에서는 당겨지는 쪽으로 힘이 작용함을 알 수 있습니다. 따라서 나무 도막이 단순히 붙어서 밀려난다고 생각해보면 평형점을 지나는 순간부터 왼쪽 방향으로 힘이 작용하기 시작하기 때문에 A와 B가 분리됨을 알 수 있습니다.

 

따라서 맨 왼쪽에서 출발하여 평형점을 지나는 순간까지는 1/4 주기에 해당하는 시간이므로 T = 2pi 루트 m/k임을 이용하여 1/4을 곱해 식을 계산해주면 ㄱ이 맞는 보기임을 알 수 있습니다.

 

그 다음 보기 ㄴ은 t_0에서 B의 속력을 물었는데 어차피 t_0까지는 A, B가 같이 붙어서 이동하기 때문에 4m짜리 나무도막과 용수철의 탄성 계수를 이용하여 일과 에너지에 관한 식을 사용해주면 ㄴ 역시 맞다는 것을 확인할 수 있습니다.

 

그 다음 보기 ㄷ은 2t_0에서 A와 B 사이의 거리를 물었는데, 우선 2t_0가 어떤 상황인지 생각해보면 t_0에서 나무 도막 덩어리가 A와 B 각각으로 분리되고, 운동에너지는 질량에 비례하므로 각각의 나무 도막은 질량비에 해당하는 운동에너지를 가지게 될 것입니다. 그리고 분리 후 A는 질량이 m이므로 단순 조화 운동의 주기가 변화할 것입니다.

 

우선 분리 후 v_B를 구해보면 위와 같고 사실 위 계산은 굳이 구해보지 않아도 A만 당겨지면서 떨어지는 것이므로 보기 ㄴ에서 바로 알 수 있습니다.

 

분리 이후 A만 붙어있는 용수철의 주기는 위와 같이 되며 그것은 2t_0에 해당함을 알 수 있습니다. 즉 t_0가 더 지나게 되면 1/2 주기가 더 지난다는 것이므로 오른쪽 끝으로 갔다가, 다시 가운데로 와서 결국 A의 위치는 그대로입니다. 따라서 B가 평형위치에서부터 얼마나 이동했는지만을 계산하면 A와 B 사이의 거리가 나옵니다.

 

그래서 t_0v_B를 계산해주면 위처럼 piL/2가 나오고 보기 ㄷ은 틀렸음을 알 수 있습니다.

 

따라서 정답은 ㄱ, ㄴ입니다.