[역학] 포물선 운동이 포함된 일과 에너지 문제 (2014학년도 20번 풀이)

문제

2014학년도 기출에 3분 정도의 시간 안에 풀이 되게 어려워보이는 문제가 있어서 가지고 와봤습니다. 위치에너지와 운동에너지 사이의 관계를 이용하여 풀이하는 문제입니다. 물리는 개념보다도 기출 풀이가 더 중요하다고 생각하여 앞으로도 이렇게 어려운 문제를 가지고 다시 풀어보는 내용 위주로 다뤄볼 계획입니다.

 

풀이

A가 중턱까지 내려왔다는 가정하에 충돌 직전과 직후의 속도를 위와 같이 잡은 뒤 풀이해줍니다.

 

간단한 식부터 써줍니다. 문제에 탄성 충돌이라고 하였으니 탄성 계수에 관한 식, 운동량 보존 식, 에너지 보존 식 등을 사용할 수 있겠으나 우선은 탄성 충돌과 운동량 보존 두 식이 가장 간단하므로 두 식을 이용해서 연립해주면 V_A와 V_B 의 비율을 구할 수 있습니다. (문자 3개, 식 2개이므로 두 문자 사이 비율까지 구할 수 있음) 탄성 충돌 식의 부호에 주의해줍시다. 전체 식에 마이너스가 하나 붙어있으므로 -(x'-y')/(x-y) = 1으로 두고 풀어야합니다.

 

이 때 속도의 방향을 잘 잡아야 하는데, 저는 헷갈릴 일이 없도록 애초부터 오른쪽 방향으로의 속도를 +, 왼쪽 방향으로의 속도를 -로 잡았습니다. 따라서 속도가 -v가 나오면, 왼쪽으로 v의 속도로 이동한다는 결론이 되는 것입니다.

 

연립해서 계산해주면 v_A가 왼쪽으로 1/4v로, v_B가 오른쪽으로 3/4v로 이동한다는 것을 알 수 있습니다.

 

그 다음 A가 다시 왼쪽으로 이동하여 경사면을 올라갔다가 내려오게 되는데, 여기서 마찰력이나 강체의 회전과 같은 에너지의 손실이 없으므로 정확히 같은 운동에너지로 다시 내려올 것입니다. 따라서 경사면을 올라갔다가 내려온 이후 오른쪽으로 그대로 1/4v로 이동할 것입니다.

 

그건 둘째치고 일단 얼마나 올라갔다가 내려오냐는 것이 보기 ㄴ의 핵심인데, 운동에너지 = 위치에너지 식을 써보면 높이는 이동속도의 제곱에 비례한다는 사실을 알 수 있으므로 1/4 v로 이동한다면 1/16 h만큼만 올라갔다가 내려오게 되어 ㄴ도 맞습니다. (위의 식에 오타가 있는데 (1/4 v)^2으로 바뀌어야 합니다.)

 

그 다음 ㄷ은 h1, h2, d라는 문자들이 나와서 헷갈릴 수 있는데, 잘 생각해보면 오른쪽 절벽에서 떨어지는 순간 x방향 이동속도는 그대로 유지되며 이동하므로 d = (v_Bt - v_At)임을 알 수 있습니다. (이 때 v_A, v_B는 모두 오른쪽 방향으로 이동한다고 가정, 그리고 t는 떨어지는 시간 - 물체의 질량과 관계없이 같은 높이를 떨어지는 시간은 같으므로)

 

그래서 t = (2h_1/g)^(1/2) 대입해주고 나머지 v_A, v_B는 위에서 구한 값을 대입해주면 v를 h1으로 나타내어줄 필요가 발생합니다. 그러나 이 또한 1/2 (3m)v^2 = (3m)gh_2이므로 간단하게 구해줄 수 있습니다.

 

따라서 정답은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이 모두 맞습니다.