[축전기] 병렬 회로에서의 축전기에 충전된 전하량의 비 구하는 문제 (2020학년도 8번 풀이)

문제

 

위와 같이 병렬로 연결된 회로에서 축전기가 양쪽에 연결되어 있는, 단시간에 풀기에 헷갈리는 회로에서 축전기의 전하량을 구하는 문제를 빠르게 해결하는 방법에 대해 알아봅시다.

 

풀이

우선 위와 같이 구조가 헷갈리는 회로들은 전위가 같은 점들이 어디인지를 정확히 파악하고 회로를 알아보기 쉬운 형태로 다시 그리는 것이 빨리 푸는데 도움이 됩니다. (물론 이 때 회로를 다시 그린다고 오랜 시간을 낭비하면 오히려 손해기 때문에, 너무 고민하여 회로를 재구성하지 말고 대략적인 병렬 구조가 어떻게 연결되어있는지 정도만 파악할 수 있도록 그려주면 됩니다.)

 

이 문제의 경우에는 위와 같이 회로를 재구성하여 그릴 수 있습니다. 그러면 간단한 병렬 + 직렬 회로에 축전기 두 개가 붙어있는 형태를 생각해 볼 수 있습니다. 이 때 충전된 전하 Q의 비율을 구하라고 하였으므로 Q = CV이기 때문에 축전기 양단의 전위 비율을 구해주는 것이 핵심임을 알 수 있습니다.

 

 

오른쪽에 따로 떨어져 있는 저항은 나중에 생각하고 우선 왼쪽에 있는 병렬 구조의 합성저항부터 계산해보면 위와 같은 공식에 의해 3/2 R이 됩니다. 오른쪽에 따로 떨어져 있는 저항은 3R이기 때문에 저항의 비율은 1:2가 됩니다. 따라서 회로 전체에 걸리는 전압을 V라고 생각해보면 왼쪽 병렬 구조 양단의 전위차는 1/3 V가 되어 가운데 지점의 전위는 2/3 V가 됩니다.

 

그러면 병렬 회로의 양단 전위차가 1/3 V이기 때문에 각 병렬 회로 내에서의 저항 사이사이의 전위 값을 구해줄 수 있습니다. 전위를 저항의 역수값에 따라 내분하여 구해주면 각각 8/9 V, 7/9 V가 됩니다. 그러면 모든 저항 사이의 전위를 구했기 때문에 두 축전기의 양단에 걸리는 전압을 구할 수 있게 됩니다.

 

V_1 = 7/9 V이고 V_2 = 8/9 V이므로 Q_1/Q_2는 위와 같은 공식에 용량과 전압 비만 구해서 대입해주면 되므로 7/16이 나옴을 알 수 있습니다. 따라서 정답은 4번이 됩니다.