[교류회로] RLC 회로에서 특정 조건이 주어졌을 때 교류 전원 진동수를 구하는 문제 (2017학년도 6번 풀이)

문제

 

위와 같이 두 개의 RLC 회로가 주어졌을 때 저항에서 소모되는 전력이 같은 조건에서의 교류 전원의 진동수를 구하는 문제를 풀이해봅시다.

 

풀이

우선 문제를 풀이하기 전에 저항에서 소모되는 전력이 같다는 것이 무슨 의미인지를 파악할 수 있어야합니다.

 

RLC 회로에서 오해하면 안되는 것이 물론 코일과 축전기에도 저항과 비슷한 의미를 가지는 유도인덕턴스 X_L이나 용량인덕턴스 X_C가 존재하지만 코일이나 축전기에서는 "소모되는 전력"이라는 개념이 없습니다. 오직 저항에서만 전력이 소모될 수 있습니다. 따라서 두 회로에서 소모되는 전력이 같다는 의미는 저항에서 소모되는 전력이 같다는 이야기입니다.

 

그러면 저항에서 소모되는 전력 I^2R에 대해서 생각해보면 두 회로에서의 저항은 같기 때문에 결국 흘려주는 전류의 양이 같다는 것을 알 수 있습니다.

 

그러면 Z가 임피던스라고 할 때 RLC 회로에서의 V = IZ라는 식이 성립하기 때문에 두 회로의 V가 같으므로 결국 임피던스가 동일하다는 결론이 나옵니다.

 

따라서 위상자로부터 얻어진 임피던스 식을 사용하여 두 RLC 회로에서의 (오른쪽 회로는 RC 회로가 정확하겠네요) 임피던스 식을 사용해주면 위와 같은 두 임피던스 식을 얻을 수 있습니다.

 

그런데 여기서 주의해야 할 점이 양변을 제곱해서 식을 풀어버리면 진동속도 w에 대한 4차 방정식이 나오기 때문에 절대 그렇게 식을 풀면 안되고, 등식이 성립한다는 것은 양변에서 다른 부분만 동일해지면 된다는 것이기 때문에 일부만 따와서 등식을 풀어주는 것이 훨씬 간단합니다.

 

따라서 그렇게 식을 풀어주면 위와 같이 f_0가 얻어지고 이것을 통해 정답이 4번임을 알 수 있습니다.

 

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더 생각해보기

만약 문제에서 오른쪽 회로에서 f_0가 증가했을 때 저항에서 소모되는 전력은 증가할까요, 감소할까요? RLC 회로에서 중요하고 어려운 개념이지만 문제에서 나오지 않았기 때문에 여기서 다루어보도록 하겠습니다.

 

우선 임피던스부터 구한 뒤 f_0에 대한 식으로 바꿔서 생각해보면, f_0가 증가하면 임피던스는 감소함을 알 수 있습니다. 그러면 V = IZ에서 전압 V는 고정이기 때문에 흐르는 전류가 증가해야합니다. 따라서 저항에서 소모되는 전력은 I^2 R이므로 저항은 고정이기 때문에 소모 전력은 증가함을 알 수 있습니다.

 

이런 식으로 RLC 회로에서 어떤 한 요소에 대한 변화를 주었을 때 다른 변수가 어떻게 되는지 알기 위해서는 회로에서 고정인 값이 무엇이고 변화하는 값이 무엇인지 정확하게 파악하고 있는 것이 중요합니다. 따라서 임피던스나 교류회로의 진동수에 대해 헷갈리고 있는 개념이 있다면 정확하게 그 상관관계를 파악해두기를 바랍니다.